Algèbre Exemples

${(\frac{49}{81})}^{x + 1} \geq \frac{9}{7}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Développez $\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (\frac{49}{81}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\frac{49}{81})$ comme $\ln (49) - \ln (81)$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (81)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (81)$ comme $\ln (3^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (3^{4})) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 2.4

Développez $\ln (3^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$(x + 1) (\ln (49) - (4 \ln (3))) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 2.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ .

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Étape 3.1.1

Développez $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $\ln (49)$ par $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $- 4 \ln (3)$ par $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 3.1.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) - \ln (\frac{9}{7}) = 0$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49}{\frac{9}{7}}) - 4 \ln (3) = 0$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49 (\frac{7}{9})) - 4 \ln (3) = 0$

Étape 6.2

Multipliez $49 (\frac{7}{9})$ .

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Étape 6.2.1

Associez $49$ et $\frac{7}{9}$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49 \cdot 7}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $49$ par $7$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $\ln (\frac{343}{9})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) - 4 \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9})$

Étape 7.2

Ajoutez $4 \ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Étape 8

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (49) - 4 x \ln (3)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (49)$ .

$x (\ln (49)) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Étape 8.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (3)$ .

$x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3))$ .

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ par $\ln (49) - 4 \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ par $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (\frac{343}{9})$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $4 \ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ comme $- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 9.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}]$

Étape 12