Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

Étape 1

Définissez $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ égal à $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + 2 x = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2$ .

$x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 2 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 2.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 2.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i$

Étape 2.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 2.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 2.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i$

Étape 2.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i, 1 - i$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 + i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 - i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 + i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 1 - i$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3