Pré-calcul Exemples

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[5]{4}})$

Étape 1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[5]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt[5]{4}$ à la puissance $1$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1} {\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1 + 4}})$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{5}})$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{4}}^{5}$ comme $4$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{4}$ comme $4^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{(4^{\frac{1}{5}})}^{5}})$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}})$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}})$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{1}})$

Étape 2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4})$

Étape 3

Réécrivez $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4}$ comme ${\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1}$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1})$

Étape 4

Réécrivez $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1})$ comme $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$

Étape 5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - \log_{4} (4)$

Étape 6

La base logarithmique $4$ de $4$ est $1$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - 1 \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - 1$

Étape 8

Développez $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$4 \log_{4} (\sqrt[5]{4}) - 1$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 9.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$4 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Étape 9.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$4 \frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)} - 1$

Étape 9.2

Multipliez $4 \frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)}$ .

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Étape 9.2.1

Associez $4$ et $\frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)}$ .

$\frac{4 \log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)} - 1$

Étape 9.2.2

Simplifiez $4 \log (\sqrt[5]{4})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{\log ({\sqrt[5]{4}}^{4})}{\log (4)} - 1$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{4}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{4^{4}}$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{4^{4}})}{\log (4)} - 1$

Étape 9.3.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{256})}{\log (4)} - 1$

Étape 9.3.3

Réécrivez $256$ comme $2^{5} \cdot 8$ .

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $32$ à partir de $256$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{32 (8)})}{\log (4)} - 1$

Étape 9.3.3.2

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{2^{5} \cdot 8})}{\log (4)} - 1$

Étape 9.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\log (2 \sqrt[5]{8})}{\log (4)} - 1$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (2 \sqrt[5]{8})}{\log (4)} - 1$

Forme décimale :

$- 0.2$