Pré-calcul Exemples

$x = t^{2} + t$ , $y = 2 t - t$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = t^{2} + t$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $t^{2} + t = x$ .

$t^{2} + t = x$

Étape 3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$t^{2} + t - x = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Étape 7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Étape 7.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{1 + 4 x}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ .

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

Étape 7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Étape 8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

Étape 8.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ .

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Étape 8.4.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $4 x$ .

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 8.4.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 8.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{4 x + 1}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

Étape 8.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Étape 8.4.5

Réécrivez $- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ comme $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ .

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

Étape 8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 10

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12

Simplifiez $2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ .

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez $2$ par chaque élément de la matrice.

$y = (2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 12.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$ dans le numérateur.

$y = (2 (\frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = (2 \frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (- 1 \cdot 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = (- 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.4

Multipliez $- - \sqrt{1 + 4 x}$ .

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Étape 12.1.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = (- 1 + 1 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.4.2

Multipliez $\sqrt{1 + 4 x}$ par $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ dans le numérateur.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (\frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.2

Pour écrire $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.3

Simplifiez les termes.

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Étape 12.3.1

Associez $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.4.2

Multipliez $2$ par chaque élément de la matrice.

$y = \frac{(2 (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.4.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 12.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.4.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 \cdot - 1 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.4.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

Étape 12.4.3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$