Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (x^{2} - 1) + 2 \log_{3} (2 x - 2) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log_{3} (2 x - 2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - 3 \log_{3} (x - 1)$

Étape 1.2

Simplifiez $- 3 \log_{3} (x - 1)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{3} (x^{2} - 1) + \log_{3} ({(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}) - \log_{3} ({(x - 1)}^{3})$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x^{2} - 1^{2}) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 x - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) - 2)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x) + 2 (- 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) {(2 (x - 1))}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $2 (x - 1)$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) (x - 1) \cdot 2^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.5

Multipliez $x - 1$ par ${(x - 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1

Déplacez ${(x - 1)}^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x - 1)) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.5.2

Multipliez ${(x - 1)}^{2}$ par $x - 1$ .

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Étape 4.5.2.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) ({(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{1}) \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2 + 1} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 2^{2}}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 4.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 1)}^{3}$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{3} \cdot 4}{{(x - 1)}^{3}})$

Étape 5.1.2

Divisez $(x + 1) \cdot 4$ par $1$ .

$\log_{3} ((x + 1) \cdot 4)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (x \cdot 4 + 1 \cdot 4)$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\log_{3} (4 \cdot x + 1 \cdot 4)$

Étape 5.3.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\log_{3} (4 x + 4)$