Pré-calcul Exemples

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{108}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9) + \log_{6} (256))$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{108} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{36 (3)} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\sqrt{6^{2} \cdot 3} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (6 \sqrt{3} \cdot 256) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.3

Multipliez $256$ par $6$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1 \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ comme $- \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 3 \log_{6} (9))$

Étape 2.7

Simplifiez $3 \log_{6} (9)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \log_{6} (9^{3}))$

Étape 2.8

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (1536 \sqrt{3}) - \log_{6} (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \log_{6} (729))$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{6}{7} \cdot (\log_{6} (\frac{1536 \sqrt{3}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \log_{6} (729))$

Étape 4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (\frac{1536 \sqrt{3}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} \cdot 729)$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (1536 \sqrt{3} \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2 \sqrt{3}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2 \sqrt{3}$ à partir de $1536 \sqrt{3}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2 \sqrt{3} (768) \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2 \sqrt{3} \cdot 768 \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 729)$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (768 \cdot 3 \cdot 729)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $768$ par $3$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (2304 \cdot 729)$

Étape 7.2

Multipliez $2304$ par $729$ .

$\frac{6}{7} \cdot \log_{6} (1679616)$

Étape 7.3

La base logarithmique $6$ de $1679616$ est $8$ .

$\frac{6}{7} \cdot 8$

Étape 8

Multipliez $\frac{6}{7} \cdot 8$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{6}{7}$ et $8$ .

$\frac{6 \cdot 8}{7}$

Étape 8.2

Multipliez $6$ par $8$ .

$\frac{48}{7}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{48}{7}$

Forme décimale :

$6.\overline{857142}$

Forme de nombre mixte :

$6 \frac{6}{7}$