Pré-calcul Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez $n^{n}$ comme $e^{\ln (n^{n})}$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

Étape 2.2

Développez $\ln (n^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Étape 3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $n!$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.2

Développez $8!$ en $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.3

Multipliez $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $8$ par $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $56$ par $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.3.3

Multipliez $336$ par $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.3.4

Multipliez $1680$ par $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $6720$ par $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.3.6

Multipliez $20160$ par $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.3.7

Multipliez $40320$ par $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $8 \cdot \ln (8)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

Étape 5.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{40320}{8^{8}}$

Étape 5.1.3

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $40320$ et $16777216$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $128$ à partir de $40320$ .

$\frac{128 (315)}{16777216}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $128$ à partir de $16777216$ .

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{315}{131072}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{315}{131072}$

Forme décimale :

$0.00240325 \dots$