Pré-calcul Exemples

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} = - 16$

Étape 1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Étape 2

Réécrivez $25^{x}$ comme ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Étape 3

Réécrivez ${(5^{2})}^{x}$ comme ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Étape 4

Laissez $u = 5^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $5^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5^{x}$ .

${(5^{x} - 4)}^{2} = 0$

Étape 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0}$

Étape 8

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5^{x} - 4 = \pm 0$

Étape 8.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$5^{x} - 4 = 0$

Étape 9

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5^{x} = 4$

Étape 10

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Étape 11

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Étape 12

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (4)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 12.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (4)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Étape 12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$