Trigonometría Ejemplos

$a = 10$ , $b = 9$ , $c = 7$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$A = \arccos (\frac{{(9)}^{2} + {(7)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (9) (7)})$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 7^{2} - 10^{2}}{2 (9) \cdot 7})$

Paso 4.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 10^{2}}{2 (9) \cdot 7})$

Paso 4.1.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 1 \cdot 100}{2 (9) \cdot 7})$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 100}{2 (9) \cdot 7})$

Paso 4.1.5

Suma $81$ y $49$ .

$A = \arccos (\frac{130 - 100}{2 (9) \cdot 7})$

Paso 4.1.6

Resta $100$ de $130$ .

$A = \arccos (\frac{30}{2 (9) \cdot 7})$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$A = \arccos (\frac{30}{18 \cdot 7})$

Paso 4.2.2

Multiplica $18$ por $7$ .

$A = \arccos (\frac{30}{126})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $30$ y $126$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $6$ de $30$ .

$A = \arccos (\frac{6 (5)}{126})$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $6$ de $126$ .

$A = \arccos (\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 21})$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$A = \arccos (\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 21})$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \arccos (\frac{5}{21})$

Paso 4.4

Evalúa $\arccos (\frac{5}{21})$ .

$A = 76.225853$

Paso 5

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Paso 6

Resuelve la ecuación.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Paso 7

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$B = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(7)}^{2} - {(9)}^{2}}{2 (10) (7)})$

Paso 8

Simplifica los resultados.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 7^{2} - 9^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 8.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 9^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 8.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 1 \cdot 81}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 81}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 8.1.5

Suma $100$ y $49$ .

$B = \arccos (\frac{149 - 81}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 8.1.6

Resta $81$ de $149$ .

$B = \arccos (\frac{68}{2 (10) \cdot 7})$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $10$ .

$B = \arccos (\frac{68}{20 \cdot 7})$

Paso 8.2.2

Multiplica $20$ por $7$ .

$B = \arccos (\frac{68}{140})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $68$ y $140$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $4$ de $68$ .

$B = \arccos (\frac{4 (17)}{140})$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $4$ de $140$ .

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 17}{4 \cdot 35})$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 17}{4 \cdot 35})$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \arccos (\frac{17}{35})$

Paso 8.4

Evalúa $\arccos (\frac{17}{35})$ .

$B = 60.94071893$

Paso 9

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$76.225853 + C + 60.94071893 = 180$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 10.1

Suma $76.225853$ y $60.94071893$ .

$C + 137.16657193 = 180$

Paso 10.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Resta $137.16657193$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 137.16657193$

Paso 10.2.2

Resta $137.16657193$ de $180$ .

$C = 42.83342806$

Paso 11

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 76.225853$

$B = 60.94071893$

$C = 42.83342806$

$a = 10$

$b = 9$

$c = 7$