Trigonometría Ejemplos

$A = 15$ , $a = 4$ , $b = 5$

Paso 1

El teorema de los senos produce un resultado de ángulo ambiguo. Esto significa que hay $2$ ángulos que resolverán correctamente la ecuación. Para el primer triángulo, usa el valor del primer ángulo posible.

Resuelve el primer triángulo.

Paso 2

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $5 \frac{\sin (15)}{4}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Separa la negación.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 4.2.2.1.1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (B) = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Paso 4.2.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ .

$\sin (B) = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Paso 4.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$

Paso 4.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$ .

$B = 18.87616421$

Paso 4.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 18.87616421$

Paso 4.6

Resta $18.87616421$ de $180$ .

$B = 161.12383578$

Paso 4.7

La solución a la ecuación $B = 18.87616421$ .

$B = 18.87616421, 161.12383578$

Paso 5

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$15 + C + 18.87616421 = 180$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 6.1

Suma $15$ y $18.87616421$ .

$C + 33.87616421 = 180$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $33.87616421$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 33.87616421$

Paso 6.2.2

Resta $33.87616421$ de $180$ .

$C = 146.12383578$

Paso 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 8

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (146.12383578)}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Paso 9.1

Factoriza cada término.

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Paso 9.1.1

Evalúa $\sin (146.12383578)$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 9.1.2

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 9.1.2.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Paso 9.1.2.2

Separa la negación.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Paso 9.1.2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 9.1.2.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 9.1.2.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 9.1.2.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Paso 9.1.2.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 9.1.2.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 9.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 9.1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 9.1.2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 9.1.2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 9.1.2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 9.1.2.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 9.1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 9.1.2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 9.1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 9.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 9.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 9.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 9.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Paso 9.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 9.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$c, 16$

Paso 9.2.2

Since $c, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Paso 9.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 9.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 9.2.5

Los factores primos para $16$ son $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 9.2.5.1

$16$ tiene factores de $2$ y $8$ .

$2 \cdot 8$

Paso 9.2.5.2

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Paso 9.2.5.3

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 9.2.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 9.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 9.2.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2$

Paso 9.2.6.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$16$

Paso 9.2.7

El factor para $c^{1}$ es $c$ en sí mismo.

$c^{1} = c$

$c$ ocurre $1$ vez.

Paso 9.2.8

El MCM de $c^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$c$

Paso 9.2.9

El MCM para $c, 16$ es la parte numérica $16$ multiplicada por la parte variable.

$16 c$

Paso 9.3

Multiplica cada término en $\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ por $16 c$ para eliminar las fracciones.

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Paso 9.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.55739976}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ por $16 c$ .

$\frac{0.55739976}{c} (16 c) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 \frac{0.55739976}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 9.3.2.2

Multiplica $16 \frac{0.55739976}{c}$ .

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Paso 9.3.2.2.1

Combina $16$ y $\frac{0.55739976}{c}$ .

$\frac{16 \cdot 0.55739976}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 9.3.2.2.2

Multiplica $16$ por $0.55739976$ .

$\frac{8.91839623}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 9.3.2.3

Cancela el factor común de $c$ .

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Paso 9.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{8.91839623}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 9.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 9.3.3.1.1

Factoriza $16$ de $16 c$ .

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 (c))$

Paso 9.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$8.91839623 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 9.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$8.91839623 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) c$

Paso 9.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8.91839623 = \sqrt{6} c - \sqrt{2} c$

Paso 9.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 9.4.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 8.91839623$ .

$\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 8.91839623$

Paso 9.4.2

Factoriza $c$ de $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c$ .

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Paso 9.4.2.1

Factoriza $c$ de $\sqrt{6} c$ .

$c \sqrt{6} - \sqrt{2} c = 8.91839623$

Paso 9.4.2.2

Factoriza $c$ de $- \sqrt{2} c$ .

$c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2}) = 8.91839623$

Paso 9.4.2.3

Factoriza $c$ de $c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2})$ .

$c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$

Paso 9.4.3

Divide cada término en $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$ por $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ y simplifica.

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Paso 9.4.3.1

Divide cada término en $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 8.91839623$ por $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Paso 9.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.3.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

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Paso 9.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Paso 9.4.3.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Paso 9.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.4.3.3.1

Multiplica $\frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Paso 9.4.3.3.2

Multiplica $\frac{8.91839623}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Paso 9.4.3.3.3

Expande el denominador con el método PEIU.

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.4.3.3.4

Simplifica.

$c = \frac{8.91839623 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Paso 9.4.3.3.5

Multiplica $8.91839623$ por $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$c = \frac{34.45803701}{4}$

Paso 9.4.3.3.6

Divide $34.45803701$ por $4$ .

$c = 8.61450925$

Paso 10

Para el segundo triángulo: usa el valor del segundo ángulo posible.

Resuelve el segundo triángulo.

Paso 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 12

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 13

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 13.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 13.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 13.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 13.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 13.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 13.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.2.1

Simplifica $5 \frac{\sin (15)}{4}$ .

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Paso 13.2.2.1.1

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 13.2.2.1.1.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.2

Separa la negación.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.1.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.1.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.1.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.1.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 13.2.2.1.1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (B) = 5 \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 13.2.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (B) = 5 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 13.2.2.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 13.2.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Paso 13.2.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ .

$\sin (B) = \frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Paso 13.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $B$ del interior de seno.

$B = \arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$

Paso 13.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.4.1

Evalúa $\arcsin (\frac{5 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16})$ .

$B = 18.87616421$

Paso 13.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$B = 180 - 18.87616421$

Paso 13.6

Resta $18.87616421$ de $180$ .

$B = 161.12383578$

Paso 13.7

La solución a la ecuación $B = 18.87616421$ .

$B = 18.87616421, 161.12383578$

Paso 14

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$15 + C + 161.12383578 = 180$

Paso 15

Resuelve la ecuación en $C$ .

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Paso 15.1

Suma $15$ y $161.12383578$ .

$C + 176.12383578 = 180$

Paso 15.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 15.2.1

Resta $176.12383578$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 180 - 176.12383578$

Paso 15.2.2

Resta $176.12383578$ de $180$ .

$C = 3.87616421$

Paso 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 17

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $c$ .

$\frac{\sin (3.87616421)}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 18

Resuelve la ecuación en $c$ .

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Paso 18.1

Factoriza cada término.

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Paso 18.1.1

Evalúa $\sin (3.87616421)$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (15)}{4}$

Paso 18.1.2

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 18.1.2.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{4}$

Paso 18.1.2.2

Separa la negación.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{4}$

Paso 18.1.2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 18.1.2.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 18.1.2.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{4}$

Paso 18.1.2.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{4}$

Paso 18.1.2.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 18.1.2.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 18.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 18.1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 18.1.2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 18.1.2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 18.1.2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

Paso 18.1.2.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 18.1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{4}$

Paso 18.1.2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 18.1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{4}$

Paso 18.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 18.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 18.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 18.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$

Paso 18.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 18.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$c, 16$

Paso 18.2.2

Since $c, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Paso 18.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 18.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 18.2.5

Los factores primos para $16$ son $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 18.2.5.1

$16$ tiene factores de $2$ y $8$ .

$2 \cdot 8$

Paso 18.2.5.2

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Paso 18.2.5.3

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 18.2.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 18.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 18.2.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2$

Paso 18.2.6.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$16$

Paso 18.2.7

El factor para $c^{1}$ es $c$ en sí mismo.

$c^{1} = c$

$c$ ocurre $1$ vez.

Paso 18.2.8

El MCM de $c^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$c$

Paso 18.2.9

El MCM para $c, 16$ es la parte numérica $16$ multiplicada por la parte variable.

$16 c$

Paso 18.3

Multiplica cada término en $\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ por $16 c$ para eliminar las fracciones.

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Paso 18.3.1

Multiplica cada término en $\frac{0.06760023}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16}$ por $16 c$ .

$\frac{0.06760023}{c} (16 c) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 18.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 18.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 \frac{0.06760023}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 18.3.2.2

Multiplica $16 \frac{0.06760023}{c}$ .

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Paso 18.3.2.2.1

Combina $16$ y $\frac{0.06760023}{c}$ .

$\frac{16 \cdot 0.06760023}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 18.3.2.2.2

Multiplica $16$ por $0.06760023$ .

$\frac{1.08160376}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 18.3.2.3

Cancela el factor común de $c$ .

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Paso 18.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1.08160376}{c} c = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 18.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 18.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 18.3.3.1

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.3.1.1

Factoriza $16$ de $16 c$ .

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 (c))$

Paso 18.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$1.08160376 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} (16 c)$

Paso 18.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$1.08160376 = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) c$

Paso 18.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1.08160376 = \sqrt{6} c - \sqrt{2} c$

Paso 18.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 18.4.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 1.08160376$ .

$\sqrt{6} c - \sqrt{2} c = 1.08160376$

Paso 18.4.2

Factoriza $c$ de $\sqrt{6} c - \sqrt{2} c$ .

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Paso 18.4.2.1

Factoriza $c$ de $\sqrt{6} c$ .

$c \sqrt{6} - \sqrt{2} c = 1.08160376$

Paso 18.4.2.2

Factoriza $c$ de $- \sqrt{2} c$ .

$c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2}) = 1.08160376$

Paso 18.4.2.3

Factoriza $c$ de $c \sqrt{6} + c (- \sqrt{2})$ .

$c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$

Paso 18.4.3

Divide cada término en $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$ por $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ y simplifica.

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Paso 18.4.3.1

Divide cada término en $c (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 1.08160376$ por $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Paso 18.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.3.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

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Paso 18.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{c (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Paso 18.4.3.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

Paso 18.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.3.3.1

Multiplica $\frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Paso 18.4.3.3.2

Multiplica $\frac{1.08160376}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ .

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Paso 18.4.3.3.3

Expande el denominador con el método PEIU.

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 18.4.3.3.4

Simplifica.

$c = \frac{1.08160376 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Paso 18.4.3.3.5

Multiplica $1.08160376$ por $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$c = \frac{4.17899603}{4}$

Paso 18.4.3.3.6

Divide $4.17899603$ por $4$ .

$c = 1.044749$

Paso 19

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

Combinación del primer triángulo:

$A = 15$

$B = 18.87616421$

$C = 146.12383578$

$a = 4$

$b = 5$

$c = 8.61450925$

Combinación del segundo triángulo:

$A = 15$

$B = 161.12383578$

$C = 3.87616421$

$a = 4$

$b = 5$

$c = 1.044749$