Trigonometría Ejemplos

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

Paso 2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sin (x)}$ como ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica.

$\sin (x) = 0^{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 2.3.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 2.3.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.3.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.3.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.3.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.3.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.3.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.4

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $\sqrt{\sin (x)} = 0$ y resolución.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{\sin (x)}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sin (x) < 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x < \arcsin (0)$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x < 0$

Paso 4.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 4.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 4.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.7

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Paso 4.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.9.1

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 4.9.1.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sin (2) < 0$

Paso 4.9.1.3

$0.90929742$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.9.2

Prueba un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $π < x < 2 π$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 4.9.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (5) < 0$

Paso 4.9.2.3

$- 0.95892427$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.9.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Verdadero

$0 < x < π$ Falso

$π < x < 2 π$ Verdadero

Paso 4.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6