Trigonometría Ejemplos

$\log (3 x) = \log (5) + \log (x - 4)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\log (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$\log (3 x) - \log (5) = \log (x - 4)$

Paso 1.2

Resta $\log (x - 4)$ de ambos lados de la ecuación.

$\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4) = 0$

Paso 2

Simplifica $\log (3 x) - \log (5) - \log (x - 4)$ .

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Paso 2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{3 x}{5}) - \log (x - 4) = 0$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{3 x}{5}}{x - 4}) = 0$

Paso 2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (\frac{3 x}{5} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 0$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{3 x}{5}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)}) = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 (x - 4) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Divide cada término en $5 (x - 4) = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.1.1

Divide cada término en $5 (x - 4) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 4.1.2.1.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Paso 4.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5

Establece el argumento en $\log (\frac{3 x}{5 (x - 4)})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{3 x}{5 (x - 4)} \leq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$3 x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 6.2

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x = 0$

Paso 6.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 4$

Paso 6.5

Consolida las soluciones.

$x = 0, 4$

Paso 6.6

Obtén el dominio de $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ .

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Paso 6.6.1

Establece el denominador en $\frac{3 x}{5 (x - 4)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 (x - 4) = 0$

Paso 6.6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.6.2.1

Divide cada término en $5 (x - 4) = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.6.2.1.1

Divide cada término en $5 (x - 4) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 6.6.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.6.2.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.6.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (x - 4)}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 6.6.2.1.2.1.2

Divide $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{5}$

Paso 6.6.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.2.1.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$x - 4 = 0$

Paso 6.6.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 6.6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 6.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 2)}{5 ((- 2) - 4)} \leq 0$

Paso 6.8.1.3

$0.2$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 6.8.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (2)}{5 ((2) - 4)} \leq 0$

Paso 6.8.2.3

$- 0.6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 6.8.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (6)}{5 ((6) - 4)} \leq 0$

Paso 6.8.3.3

$1.8$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 6.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x < 4$

Paso 7

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$0 \leq x \leq 4$

$[0, 4]$

Paso 8