Trigonometría Ejemplos

$\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 r^{2} + 23 r - 10 = 0$

Paso 2

Resuelve $r$

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Paso 2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 10 = - 50$ y cuya suma es $b = 23$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $23$ de $23 r$ .

$5 r^{2} + 23 (r) - 10 = 0$

Paso 2.1.1.2

Reescribe $23$ como $- 2$ más $25$

$5 r^{2} + (- 2 + 25) r - 10 = 0$

Paso 2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 r^{2} - 2 r + 25 r - 10 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 r^{2} - 2 r) + 25 r - 10 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$r (5 r - 2) + 5 (5 r - 2) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 r - 2$ .

$(5 r - 2) (r + 5) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Paso 2.3

Establece $5 r - 2$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.3.1

Establece $5 r - 2$ igual a $0$ .

$5 r - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $5 r - 2 = 0$ en $r$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$5 r = 2$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $5 r = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $5 r = 2$ por $5$ .

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{2}{5}$

Paso 2.4

Establece $r + 5$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 2.4.1

Establece $r + 5$ igual a $0$ .

$r + 5 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 5$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 r - 2) (r + 5) = 0$ verdadera.

$r = \frac{2}{5}, - 5$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$9 r^{2} + 43 r - 10 = 0$

Paso 4

Resuelve $r$

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Paso 4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 10 = - 90$ y cuya suma es $b = 43$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $43$ de $43 r$ .

$9 r^{2} + 43 (r) - 10 = 0$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $43$ como $- 2$ más $45$

$9 r^{2} + (- 2 + 45) r - 10 = 0$

Paso 4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 r^{2} - 2 r + 45 r - 10 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 r^{2} - 2 r) + 45 r - 10 = 0$

Paso 4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$r (9 r - 2) + 5 (9 r - 2) = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 r - 2$ .

$(9 r - 2) (r + 5) = 0$

Paso 4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Paso 4.3

Establece $9 r - 2$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 4.3.1

Establece $9 r - 2$ igual a $0$ .

$9 r - 2 = 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $9 r - 2 = 0$ en $r$ .

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Paso 4.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$9 r = 2$

Paso 4.3.2.2

Divide cada término en $9 r = 2$ por $9$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Divide cada término en $9 r = 2$ por $9$ .

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Paso 4.3.2.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{2}{9}$

Paso 4.4

Establece $r + 5$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 4.4.1

Establece $r + 5$ igual a $0$ .

$r + 5 = 0$

Paso 4.4.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 5$

Paso 4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 r - 2) (r + 5) = 0$ verdadera.

$r = \frac{2}{9}, - 5$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10} = 0$

Paso 6

Resuelve $r$

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Paso 6.1

Establece el numerador igual a cero.

$45 r^{2} - 23 r + 4 = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $r$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 45$ , $b = - 23$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot 4)}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $- 23$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 180$ por $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3.1.3

Resta $720$ de $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Paso 6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.1.1

Eleva $- 23$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

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Paso 6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 180$ por $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.4.1.3

Resta $720$ de $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.4.1.4

Reescribe $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $2$ por $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Paso 6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1.1

Eleva $- 23$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

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Paso 6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 180$ por $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.5.1.3

Resta $720$ de $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.5.1.4

Reescribe $- 191$ como $- 1 (191)$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (191)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Paso 6.2.5.2

Multiplica $2$ por $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Paso 6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}, \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Paso 7

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$r = - 5, r = \frac{2}{9}, r = \frac{2}{5}$

Paso 8