Trigonometría Ejemplos

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Paso 1

Resta $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2

Simplifica $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cot (x)$ y $b = 1$ .

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\cot (2 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.3

Combina $\cot (2 x)$ y $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\cot (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.4

Expande $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.5.1.1

Multiplica $- \cot (x) \cot (x)$ .

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Paso 2.5.5.1.1.1

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.1.1.2

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.1.2

Multiplica $- \cot (x) \cdot - 1$ .

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Paso 2.5.5.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.1.2.2

Multiplica $\cot (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.1.3

Reescribe $- 1 \cot (x)$ como $- \cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.2

Resta $\cot (x)$ de $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 2.5.5.3

Suma $- \cot^{2} (x)$ y $0$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \cot (x) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 \cot (x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1.1

Divide cada término en $2 \cot (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Divide $\cot (x)$ por $1$ .

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

Paso 4.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$\cot (x) = 0$

Paso 4.2

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.4

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Paso 4.5

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 4.5.2

Combina fracciones.

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Paso 4.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 4.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 4.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 4.5.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 4.6

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 4.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 4.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 4.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 4.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 4.7

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece el argumento en $\cot (2 x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Divide cada término en $2 x = π n$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $2 x = π n$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π n}{2}$

Paso 7

Establece el argumento en $\cot (x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9