Trigonometría Ejemplos

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (x + 8)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\ln (x - 1)$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) = - \ln (x + 8)$

Paso 1.2

Suma $\ln (x + 8)$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Paso 2

Simplifica $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8)$ .

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Paso 2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Paso 2.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1}) + \ln (x + 8) = 0$

Paso 2.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{1}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{x - 2}{x + 2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\ln (\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)} (x + 8)) = 0$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$ por $x + 8$ .

$\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}) = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 1$

Paso 5

Establece el argumento en $\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)} \leq 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 6.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 2$

$x = - 8$

$x = - 2$

$x = 1$

Paso 6.7

Consolida las soluciones.

$x = 2, - 8, - 2, 1$

Paso 6.8

Obtén el dominio de $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ .

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Paso 6.8.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Paso 6.8.2

Resuelve $x$

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Paso 6.8.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6.8.2.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.2.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.8.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.8.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.8.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.8.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.8.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 1$

Paso 6.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Paso 6.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 6.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{((- 10) - 2) ((- 10) + 8)}{((- 10) + 2) ((- 10) - 1)} \leq 0$

Paso 6.10.1.3

$0.\overline{27}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 6.10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$\frac{((- 5) - 2) ((- 5) + 8)}{((- 5) + 2) ((- 5) - 1)} \leq 0$

Paso 6.10.2.3

$- 1.1\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.10.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{((0) - 2) ((0) + 8)}{((0) + 2) ((0) - 1)} \leq 0$

Paso 6.10.3.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.10.4

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.10.4.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 6.10.4.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$\frac{((1.5) - 2) ((1.5) + 8)}{((1.5) + 2) ((1.5) - 1)} \leq 0$

Paso 6.10.4.3

$- 2.\overline{714285}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 6.10.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.10.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.10.5.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{((4) - 2) ((4) + 8)}{((4) + 2) ((4) - 1)} \leq 0$

Paso 6.10.5.3

$1.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 6.10.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 6.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 8 \leq x < - 2$ o $1 < x \leq 2$

Paso 7

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$- 8 \leq x \leq - 2, 1 \leq x \leq 2$

$[- 8, - 2] \cup [1, 2]$

Paso 8