Trigonometría Ejemplos

$P (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$P (x) = - 2 x^{3} + 98 x + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 2

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3} + 98 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$P (x) = - 2 x \cdot x^{2} + 98 x + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 2.2

Factoriza $- 2 x$ de $98 x$ .

$P (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 49 + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 2.3

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 49)$ .

$P (x) = - 2 x (x^{2} - 49) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x^{2} - 7^{2}) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$P (x) = - 2 x ((x + 7) (x - 7)) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + {(x^{2})}^{2} - 48 x^{2} - 49$

Paso 6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + u^{2} - 48 u - 49$

Paso 7

Factoriza $u^{2} - 48 u - 49$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 49$ y cuya suma es $- 48$ .

$- 49, 1$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (u - 49) (u + 1)$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x^{2} - 49) (x^{2} + 1)$

Paso 9

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x^{2} - 7^{2}) (x^{2} + 1)$

Paso 10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$

Paso 11

Factoriza $(x + 7) (x - 7)$ de $- 2 x (x + 7) (x - 7) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$ .

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Paso 11.1

Factoriza $(x + 7) (x - 7)$ de $- 2 x (x + 7) (x - 7)$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 x) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$

Paso 11.2

Factoriza $(x + 7) (x - 7)$ de $(x + 7) (x - 7) (- 2 x) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 x + x^{2} + 1)$

Paso 12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 u + u^{2} + 1)$

Paso 13

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 13.1

Reorganiza los términos.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 u + 1)$

Paso 13.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Paso 13.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 13.4

Reescribe el polinomio.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Paso 13.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) {(u - 1)}^{2}$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) {(x - 1)}^{2}$