Trigonometría Ejemplos

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} = \cos^{4} (w)$

Paso 1

Resta $\cos^{4} (w)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w)$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $\cot (w)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{- 1 + {(\frac{\cos (w)}{\sin (w)})}^{2} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (w)}{\sin (w)}$ .

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.3

Reescribe $\tan (w)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) {(\frac{\sin (w)}{\cos (w)})}^{2}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (w)}{\cos (w)}$ .

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $\cos^{2} (w)$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \sin^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.6

Mueve $\sin^{2} (w)$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.8

Factoriza $- 1$ de $\sin^{2} (w)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.10

Reescribe $- 1 (1 - \sin^{2} (w))$ como $- (1 - \sin^{2} (w))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.11

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.12

Factoriza $\cos^{2} (w)$ de $- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ .

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Paso 2.1.1.12.1

Factoriza $\cos^{2} (w)$ de $- \cos^{2} (w)$ .

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.12.2

Factoriza $\cos^{2} (w)$ de $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.12.3

Factoriza $\cos^{2} (w)$ de $\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.13

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.14

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}$ como ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.15

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.16

Reordena $- 1^{2}$ y ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) ({(\frac{1}{\sin (w)})}^{2} - 1^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.1.17

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{1}{\sin (w)}$ y $b = 1$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\csc (w)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{{(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(\cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.5

Combina $\cos^{2} (w)$ y $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.6

Multiplica $\cos^{2} (w)$ por $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.7

Expande $(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} (\frac{1}{\sin (w)} - 1) + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.8.1.1

Combinar.

$(\frac{\cos^{2} (w) \cdot 1}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.2

Multiplica $\cos^{2} (w)$ por $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.8.1.3.1

Eleva $\sin (w)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.3.2

Eleva $\sin (w)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin^{1} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{{\sin (w)}^{1 + 1}} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.4

Combina $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ y $- 1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{- 1 \cdot \cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.7

Combina $\cos^{2} (w)$ y $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - 1 \cdot \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.1.9

Reescribe $- 1 \cos^{2} (w)$ como $- \cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.2

Suma $- \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ y $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + 0 - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.8.3

Suma $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ y $0$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.10

Cancela el factor común de $\sin^{2} (w)$ .

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Paso 2.1.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.10.2

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.11

Multiplica por $1$ .

$\cos^{2} (w) \cdot 1 - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.12

Factoriza $\cos^{2} (w)$ de $- \cos^{2} (w) \sin^{2} (w)$ .

$\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $\cos^{2} (w)$ de $\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w))$ .

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.14

Reescribe $- 1 \sin^{2} (w)$ como $- \sin^{2} (w)$ .

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.15

Aplica la identidad pitagórica.

$\cos^{2} (w) \cdot \cos^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.16

Multiplica $\cos^{2} (w)$ por $\cos^{2} (w)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.16.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (w)}^{2 + 2} - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.1.16.2

Suma $2$ y $2$ .

$\cos^{4} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Paso 2.2

Resta $\cos^{4} (w)$ de $\cos^{4} (w)$ .

$0 = 0$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.