Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Paso 1

Resta $2 \sec^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \sec^{2} (x) = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \sec^{2} (x)$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.1.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} + \frac{- 2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.6

Combina los términos opuestos en $\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

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Paso 2.6.1

Suma $- \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 + 1}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.6.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Paso 2.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} = 0$

Paso 2.8.2

Separa las fracciones.

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) = 0$

Paso 2.8.3

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (\frac{2}{1} \sec^{2} (x)) = 0$

Paso 2.8.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (2 \sec^{2} (x)) = 0$

Paso 2.8.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - 2 \sec^{2} (x) = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Paso 4.2

Establece $1 + \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $1 + \sin (x)$ igual a $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Paso 4.2.2

Resuelve $1 + \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 4.2.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 4.2.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 4.2.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 4.2.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 4.2.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 4.2.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 4.2.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.2.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 4.2.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 4.2.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.3

Establece $1 - \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $1 - \sin (x)$ igual a $0$ .

$1 - \sin (x) = 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $1 - \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 4.3.2.2

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 4.3.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 4.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.3.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 4.3.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.3.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.3.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.3.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.3.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 4.3.2.6.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.3.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.3.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.5

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6