Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) = \cos (2 \cdot 45)$

Paso 1

Resta $\cos (2 \cdot 45)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2

Simplifica $\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45)$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

El valor exacto de $\cos (112.5)$ es $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $112.5$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.2

Aplica la razón del ángulo mitad del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.3

Cambia $\pm$ por $-$ porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4

Simplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.2

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.6

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.1.4.6.1

Multiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.7

Reescribe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.8

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.4.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.1.4.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ como $2 - \sqrt{2}$ .

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Paso 2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ como ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.5.5

Simplifica.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Paso 2.1.7

Multiplica $2$ por $45$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - \cos (90) = 0$

Paso 2.1.8

El valor exacto de $\cos (90)$ es $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - 0 = 0$

Paso 2.1.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) + 0 = 0$

Paso 2.2

Suma $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ y $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) = 0$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.