Trigonometría Ejemplos

$16 x^{2} + 4 y^{2} - 8 y - 12 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $4 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 8 y - 12 = - 4 y^{2}$

Paso 1.2

Suma $8 y$ a ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 12 = - 4 y^{2} + 8 y$

Paso 1.3

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$

Paso 2

Divide cada término en $16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$ por $16$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$ por $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $16$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{4 (4)} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.3

Cancela el factor común de $8$ y $16$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Factoriza $8$ de $8 y$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 (y)}{16} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.3.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{8 \cdot 2} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{8 \cdot 2} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{12}{16}$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $12$ y $16$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 (3)}{16}$

Paso 2.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Paso 2.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $\frac{y}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}$

Paso 4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{y}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}}$

Paso 4.3

Combina en una fracción.

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Paso 4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + y \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}}$

Paso 4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + y \cdot 2 + 3}{4}}$

Paso 4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + 2 y + 3}{4}}$

Paso 4.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + 2 (y) + 3}{4}}$

Paso 4.5.1.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + (- 1 + 3) y + 3}{4}}$

Paso 4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 1 y + 3 y + 3}{4}}$

Paso 4.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x = \pm \sqrt{\frac{(- y^{2} - 1 y) + 3 y + 3}{4}}$

Paso 4.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x = \pm \sqrt{\frac{y (- y - 1) - 3 (- y - 1)}{4}}$

Paso 4.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- y - 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(- y - 1) (y - 3)}{4}}$

Paso 4.6

Reescribe $\frac{(- y - 1) (y - 3)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((- y - 1) (y - 3))$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(- y - 1) (y - 3)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{4}}$

Paso 4.6.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 4.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((- y - 1) (y - 3))}$

Paso 4.7

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(- y - 1) (y - 3)}$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$