Trigonometría Ejemplos

$C = 3$ , $a = 16$ , $b = 33$

Paso 1

Usa la ley de cosenos para obtener el lado desconocido del triángulo, sabiendo los otros dos lados y el ángulo incluido.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$c = \sqrt{{(16)}^{2} + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 33 \cos (3)}$

Paso 4

Simplifica los resultados.

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Paso 4.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{256 + {(33)}^{2} - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Paso 4.2

Eleva $33$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 2 \cdot 16 \cdot (33 \cos (3))}$

Paso 4.3

Multiplica $- 2 \cdot 16 \cdot 33$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 32 \cdot (33 \cos (3))}$

Paso 4.3.2

Multiplica $- 32$ por $33$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cos (3)}$

Paso 4.4

Evalúa $\cos (3)$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1056 \cdot 0.99862953}$

Paso 4.5

Multiplica $- 1056$ por $0.99862953$ .

$c = \sqrt{256 + 1089 - 1054.5527887}$

Paso 4.6

Suma $256$ y $1089$ .

$c = \sqrt{1345 - 1054.5527887}$

Paso 4.7

Resta $1054.5527887$ de $1345$ .

$c = \sqrt{290.44721129}$

Paso 4.8

Evalúa la raíz.

$c = 17.04251188$

Paso 5

El teorema de los senos se basa en la proporcionalidad de los lados y ángulos de los triángulos. Según este teorema, en el caso de un triángulo no rectángulo, cada ángulo del triángulo tiene la misma razón de medida que el valor de seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en el teorema de los senos para obtener $A$ .

$\frac{\sin (A)}{16} = \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $A$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $16$ .

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Paso 7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$16 \frac{\sin (A)}{16} = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin (A) = 16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $16 \frac{\sin (3)}{17.04251188}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Evalúa $\sin (3)$ .

$\sin (A) = 16 (\frac{0.05233595}{17.04251188})$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $0.05233595$ por $17.04251188$ .

$\sin (A) = 16 \cdot 0.0030709$

Paso 7.2.2.1.3

Multiplica $16$ por $0.0030709$ .

$\sin (A) = 0.04913449$

Paso 7.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $A$ del interior de seno.

$A = \arcsin (0.04913449)$

Paso 7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.1

Evalúa $\arcsin (0.04913449)$ .

$A = 2.81633345$

Paso 7.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $180$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$A = 180 - 2.81633345$

Paso 7.6

Resta $2.81633345$ de $180$ .

$A = 177.18366654$

Paso 7.7

La solución a la ecuación $A = 2.81633345$ .

$A = 2.81633345, 177.18366654$

Paso 7.8

Excluye el ángulo no válido.

$A = 2.81633345$

Paso 8

La suma de todos los ángulos de un triángulo es $180$ grados.

$2.81633345 + 3 + B = 180$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $B$ .

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Paso 9.1

Suma $2.81633345$ y $3$ .

$5.81633345 + B = 180$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Resta $5.81633345$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 180 - 5.81633345$

Paso 9.2.2

Resta $5.81633345$ de $180$ .

$B = 174.18366654$

Paso 10

Estos son los resultados de todos los ángulos y lados del triángulo dado.

$A = 2.81633345$

$B = 174.18366654$

$C = 3$

$a = 16$

$b = 33$

$c = 17.04251188$