Trigonometría Ejemplos

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

Paso 1

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2

Simplifica ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.2

Expande $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.3.3

Suma $\cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.4

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.5

Aplica la identidad pitagórica.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.6.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.6.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Paso 3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común.

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.4.2

Reescribe la expresión.

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

Paso 3.5

Evalúa el exponente.

$1 + \sin (2 x) = 2$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $\sin (2 x)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 x) = 2 - 1$

Paso 4.2

Resta $1$ de $2$ .

$\sin (2 x) = 1$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (1)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 7

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 9.1.2

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 9.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 9.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 2$ .

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Paso 9.1.4.1

Reordena $π$ y $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 9.1.4.2

Resta $π$ de $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 9.2

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 9.2.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 9.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 10

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ y resolución.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$