Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Paso 1.2

Multiplica $2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Paso 1.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Paso 1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Paso 1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Paso 1.3

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

Paso 1.5

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

Paso 1.6

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1

Mueve $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 1.6.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 1.6.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} = 0$

Paso 1.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 2.4

Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.5

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 2.6

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 4.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ igual a $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Reemplaza $2 \cos^{2} (x)$ con $2 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5.2.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.3.1

Suma $2$ y $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 3 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 5.2.3.2

Resta $2 \sin^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Paso 5.2.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Paso 5.2.5

Divide cada término en $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 5.2.5.1

Divide cada término en $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 5.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 5.2.5.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 5.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.5.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Paso 5.2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 5.2.7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 5.2.7.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.2.7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.2.7.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.9

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.10

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 5.2.10.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 5.2.10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.10.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 5.2.10.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.10.4

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.10.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.10.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.10.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.10.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.2.10.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.10.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 5.2.10.4.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.10.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.10.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.10.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.11

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 5.2.11.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 5.2.11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.11.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.11.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 5.2.11.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.2.11.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 5.2.11.4.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.2.11.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.11.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.11.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.11.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.11.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.11.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.2.11.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 5.2.11.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.11.6.3

Combina fracciones.

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Paso 5.2.11.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.11.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.2.11.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.11.6.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 5.2.11.6.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 5.2.11.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 5.2.11.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.12

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.13

Consolida las soluciones.

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Paso 5.2.13.1

Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.2.13.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

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Paso 7.1

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.2

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$