Trigonometría Ejemplos

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Paso 1

Usa la identidad para resolver la ecuación. En esta identidad, $θ$ representa el ángulo creado al trazar el punto $(a, b)$ en una gráfica y, por lo tanto, se puede obtener con $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ donde $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Paso 2

Establece la ecuación para obtener el valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Paso 3

Resta la inversa de la tangente para resolver la ecuación en $θ$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Paso 3.3

El valor exacto de $\tan^{-1} (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Paso 4

Resuelve para obtener el valor de $R$ .

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Paso 4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Paso 4.3

Suma $9$ y $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Paso 4.4

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

Paso 4.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Paso 4.5

Retira los términos de abajo del radical.

$R = 3 \sqrt{2}$

Paso 5

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Paso 6

Divide cada término en $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ por $3 \sqrt{2}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ por $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Paso 6.2.2.2

Divide $\sin (x - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 6.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 6.3.2.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 6.3.2.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 6.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 6.3.2.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.3.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Paso 6.3.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Paso 6.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Paso 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

Evalúa $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Paso 9.2

Suma $0.23794112$ y $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Paso 10

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Paso 11

Resuelve $x$

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Paso 11.1

Resta $0.23794112$ de $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Paso 11.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 11.2.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Paso 11.2.2

Suma $2.90365152$ y $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Paso 12

Obtén el período de $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 12.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13

El período de la función $\sin (x - \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$