Trigonometría Ejemplos

$\tan (75)$

Paso 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $75$ se puede dividir en $30 + 45$ .

$\tan (30 + 45)$

Paso 2

Usa la fórmula de suma para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 3.2

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Paso 4.2

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Paso 8.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.5

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 8.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.6.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

Paso 8.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Paso 8.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.4

Simplifica cada término.

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Paso 9.4.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $3 \sqrt{3} + 3$ y $6$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.5.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.5.3

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.5.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 9.5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 10.2

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 10.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $4 + 2 \sqrt{3}$ y $2$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 10.4.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Paso 10.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Paso 10.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Paso 10.4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 10.4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Paso 10.4.4.4

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$3.73205080 \dots$