Trigonometría Ejemplos

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$

Paso 2.2

Expande $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Paso 2.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Paso 2.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 2.3.3

Suma $\cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 2.4

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.5

Aplica la identidad pitagórica.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 2.6.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.6.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$1 + \sin (2 x)$

Paso 3

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$ es una identidad