Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 1}{x^{3}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 x^{4} + 1}{x^{3}}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$2 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{4}$

$0$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{4} + 0 + 0 + 0$ .

$2 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{4}$

$0$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$2 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{4}$

$0$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$2 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{4}$

$0$

$1$

Paso 5.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x + \frac{1}{x^{3}}$

Paso 5.8

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 2 x$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 2 x$

Paso 7