Precálculo Ejemplos

$y = - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{23}{8}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{23}{8}$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{23}{8}$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{8})})$

Paso 1.1.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2}{8}})$

Paso 1.1.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 1.1.3.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}})$

Paso 1.1.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Paso 1.1.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Paso 1.1.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{4} (- \frac{1}{\frac{1}{4}})$

Paso 1.1.3.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{4} (- (1 \cdot 4))$

Paso 1.1.3.2.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.3.2.6.1

Factoriza $4$ de $- (1 \cdot 4)$ .

$d = \frac{1}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 1.1.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Paso 1.1.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$d = - 1 \cdot (1)$

Paso 1.1.3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.1.4.2.1.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Paso 1.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{8}$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 4}{8}}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 1.1.4.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{23}{8} - \frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{23}{8} - (\frac{1}{16} (- 1 \cdot 2))$

Paso 1.1.4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.4.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$e = \frac{23}{8} - (\frac{1}{2 (8)} (- 1 \cdot 2))$

Paso 1.1.4.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 1 \cdot 2$ .

$e = \frac{23}{8} - (\frac{1}{2 (8)} (2 \cdot - 1))$

Paso 1.1.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{23}{8} - (\frac{1}{2 \cdot 8} (2 \cdot - 1))$

Paso 1.1.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{23}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 1)$

Paso 1.1.4.2.1.6

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 1$ .

$e = \frac{23}{8} - \frac{- 1}{8}$

Paso 1.1.4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{23}{8} - - \frac{1}{8}$

Paso 1.1.4.2.1.8

Multiplica $- - \frac{1}{8}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{23}{8} + 1 (\frac{1}{8})$

Paso 1.1.4.2.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$e = \frac{23}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 1.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{23 + 1}{8}$

Paso 1.1.4.2.3

Suma $23$ y $1$ .

$e = \frac{24}{8}$

Paso 1.1.4.2.4

Divide $24$ por $8$ .

$e = 3$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{8} {(x - 1)}^{2} + 3$

Paso 1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(x - 1)}^{2} + 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 1$

$k = 3$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, 3)$

Paso 4