Precálculo Ejemplos

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ por $\frac{1 - \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{\sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ por $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))} - \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin (θ) (1 - \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $- \sin (θ) (1 + \sin (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) (- (1 + \sin (θ)))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.1.2

Factoriza $\sin (θ)$ de $\sin (θ) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) (- (1 + \sin (θ)))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - (1 + \sin (θ)))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - 1 \cdot 1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \sin (θ) - 1 - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\sin (θ) (0 - \sin (θ) - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.5

Resta $\sin (θ)$ de $0$ .

$\frac{\sin (θ) (- \sin (θ) - \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.6

Resta $\sin (θ)$ de $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot - 2 \sin (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.7

Combina exponentes.

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Paso 5.7.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (θ) \sin (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.7.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 {\sin (θ)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 5.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \sin^{2} (θ)}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$