Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 4 x - 8 y - 12 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x - 8 y - 12 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $8 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x - 12 = - y^{2} + 8 y$

Paso 1.1.1.3

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $8$ y $- 4$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (2 y)}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot (2 y)$ como $- (2 y)$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{12}{- 4}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Divide $12$ por $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 3$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = - 3 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - 3 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $- 3$ .

$e = - 7$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$ .

$\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 7$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = 4$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 7, 4)$

Paso 4