Precálculo Ejemplos

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $9 x^{2} - 36 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 36$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 18}{9}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 18$ y $9$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 36$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $1296$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Paso 1.3

Sustituye $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ por $9 x^{2} - 36 x$ en la ecuación $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

Paso 1.4

Mueve $- 36$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $36$ a ambos lados.

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 6 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 3$ como $- - 3$ .

$d = - - 3$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$d = 3$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $36$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $9$ .

$e = 9$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Paso 1.6

Sustituye $- {(y + 3)}^{2} + 9$ por $- y^{2} - 6 y$ en la ecuación $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

Paso 1.7

Mueve $9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

Paso 1.8

Simplifica $- 18 + 36 - 9$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 18$ y $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

Paso 1.8.2

Resta $9$ de $18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

Paso 1.9

Divide cada término por $9$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Paso 4

Obtén los vértices.

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Paso 4.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 4.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, - 3)$

Paso 4.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 4.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 3)$

Paso 4.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(3, - 3), (1, - 3)$

Paso 5