Precálculo Ejemplos

$2 x^{2} - x^{4} \leq 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - x^{4} = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{2} - x^{4}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} \cdot 2 - x^{4} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{4}$ .

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2}) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})$ .

$x^{2} (2 - x^{2}) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 - x^{2} = 0$

Paso 4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $2 - x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 - x^{2}$ igual a $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 - x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 2$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Paso 5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (2 - x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < 0$

$0 < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 {(- 4)}^{2} - {(- 4)}^{4} \leq 0$

Paso 8.1.3

$- 224$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \sqrt{2} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \sqrt{2} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4} \leq 0$

Paso 8.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4} \leq 0$

Paso 8.3.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 {(4)}^{2} - {(4)}^{4} \leq 0$

Paso 8.4.3

$- 224$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{2}$ Verdadero

$- \sqrt{2} < x < 0$ Falso

$0 < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Verdadero

$x < - \sqrt{2}$ Verdadero

$- \sqrt{2} < x < 0$ Falso

$0 < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Verdadero

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \sqrt{2}$ o $x \geq \sqrt{2}$ o $x = 0$

Paso 10

Combina los intervalos.

$x \leq - \sqrt{2} or x = 0 or x \geq \sqrt{2}$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - \sqrt{2}] \cup [0, 0] \cup [\sqrt{2}, \infty)$

Paso 12