Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (\frac{\sqrt{4 x^{6}}}{\sqrt[6]{32 y^{3}}})$

Paso 1

Reescribe $\log_{2} (\frac{\sqrt{4 x^{6}}}{\sqrt[6]{32 y^{3}}})$ como $\log_{2} (\sqrt{4 x^{6}}) - \log_{2} (\sqrt[6]{32 y^{3}})$ .

$\log_{2} (\sqrt{4 x^{6}}) - \log_{2} (\sqrt[6]{32 y^{3}})$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x^{6}}$ como ${(4 x^{6})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} ({(4 x^{6})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{2} (\sqrt[6]{32 y^{3}})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{32 y^{3}}$ como ${(32 y^{3})}^{\frac{1}{6}}$ .

$\log_{2} ({(4 x^{6})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{2} ({(32 y^{3})}^{\frac{1}{6}})$

Paso 4

Expande $\log_{2} ({(4 x^{6})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{2} (4 x^{6}) - \log_{2} ({(32 y^{3})}^{\frac{1}{6}})$

Paso 5

Expande $\log_{2} ({(32 y^{3})}^{\frac{1}{6}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{6}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{2} (4 x^{6}) - (\frac{1}{6} \log_{2} (32 y^{3}))$

Paso 6

Combina $\frac{1}{6}$ y $\log_{2} (32 y^{3})$ .

$\frac{1}{2} \log_{2} (4 x^{6}) - \frac{\log_{2} (32 y^{3})}{6}$

Paso 7

Reescribe $\log_{2} (4 x^{6})$ como $\log_{2} (4) + \log_{2} (x^{6})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{2} (4) + \log_{2} (x^{6})) - \frac{\log_{2} (32 y^{3})}{6}$

Paso 8

Expande $\log_{2} (x^{6})$ ; para ello, mueve $6$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{2} (4) + 6 \log_{2} (x)) - \frac{\log_{2} (32 y^{3})}{6}$

Paso 9

El logaritmo en base $2$ de $4$ es $2$ .

$\frac{1}{2} (2 + 6 \log_{2} (x)) - \frac{\log_{2} (32 y^{3})}{6}$

Paso 10

Reescribe $\log_{2} (32 y^{3})$ como $\log_{2} (32) + \log_{2} (y^{3})$ .

$\frac{1}{2} (2 + 6 \log_{2} (x)) - \frac{\log_{2} (32) + \log_{2} (y^{3})}{6}$

Paso 11

Expande $\log_{2} (y^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (2 + 6 \log_{2} (x)) - \frac{\log_{2} (32) + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 12

El logaritmo en base $2$ de $32$ es $5$ .

$\frac{1}{2} (2 + 6 \log_{2} (x)) - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 13

Simplifica cada término.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} (6 \log_{2} (x)) - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} (6 \log_{2} (x)) - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{1}{2} (6 \log_{2} (x)) - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.3.1

Factoriza $2$ de $6 \log_{2} (x)$ .

$1 + \frac{1}{2} (2 (3 \log_{2} (x))) - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común.

$1 + \frac{1}{2} (2 (3 \log_{2} (x))) - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 13.3.3

Reescribe la expresión.

$1 + 3 \log_{2} (x) - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 14

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$3 \log_{2} (x) + \frac{6}{6} - \frac{5 + 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \log_{2} (x) + \frac{6 - (5 + 3 \log_{2} (y))}{6}$

Paso 16

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \log_{2} (x) + \frac{6 - 1 \cdot 5 - (3 \log_{2} (y))}{6}$

Paso 16.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$3 \log_{2} (x) + \frac{6 - 5 - (3 \log_{2} (y))}{6}$

Paso 16.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 \log_{2} (x) + \frac{6 - 5 - 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 16.4

Resta $5$ de $6$ .

$3 \log_{2} (x) + \frac{1 - 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 17

Para escribir $3 \log_{2} (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$3 \log_{2} (x) \cdot \frac{6}{6} + \frac{1 - 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 18

Combina $3 \log_{2} (x)$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3 \log_{2} (x) \cdot 6}{6} + \frac{1 - 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \log_{2} (x) \cdot 6 + 1 - 3 \log_{2} (y)}{6}$

Paso 20

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{18 \log_{2} (x) + 1 - 3 \log_{2} (y)}{6}$