Precálculo Ejemplos

$\ln ({(\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4)}^{3}})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 1

Expande $\ln ({(\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4)}^{3}})}^{\frac{2}{3}})$ ; para ello, mueve $\frac{2}{3}$ fuera del logaritmo.

$\frac{2}{3} \ln (\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$ como $\ln (x - 2) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{3})$ .

$\frac{2}{3} (\ln (x - 2) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{3}))$

Paso 3

Expande $\ln ({(x^{2} - 4)}^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{2}{3} (\ln (x - 2) - (3 \ln (x^{2} - 4)))$

Paso 4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} (\ln (x - 2) - 3 \ln (x^{2} - 4))$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{3} \ln (x - 2) + \frac{2}{3} (- 3 \ln (x^{2} - 4))$

Paso 6

Combina $\frac{2}{3}$ y $\ln (x - 2)$ .

$\frac{2 \ln (x - 2)}{3} + \frac{2}{3} (- 3 \ln (x^{2} - 4))$

Paso 7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1

Factoriza $3$ de $- 3 \ln (x^{2} - 4)$ .

$\frac{2 \ln (x - 2)}{3} + \frac{2}{3} (3 (- \ln (x^{2} - 4)))$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (x - 2)}{3} + \frac{2}{3} (3 (- \ln (x^{2} - 4)))$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \ln (x - 2)}{3} + 2 (- \ln (x^{2} - 4))$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x - 2)}{3} - 2 \ln (x^{2} - 4)$

Paso 9

Para escribir $- 2 \ln (x^{2} - 4)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \ln (x - 2)}{3} - 2 \ln (x^{2} - 4) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 10

Combina $- 2 \ln (x^{2} - 4)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \ln (x - 2)}{3} + \frac{- 2 \ln (x^{2} - 4) \cdot 3}{3}$

Paso 11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \ln (x - 2) - 2 \ln (x^{2} - 4) \cdot 3}{3}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (x - 2) - 2 \ln (x^{2} - 4) \cdot 3$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (x - 2)$ .

$\frac{2 (\ln (x - 2)) - 2 \ln (x^{2} - 4) \cdot 3}{3}$

Paso 12.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 \ln (x^{2} - 4) \cdot 3$ .

$\frac{2 (\ln (x - 2)) + 2 (- \ln (x^{2} - 4) \cdot 3)}{3}$

Paso 12.1.3

Factoriza $2$ de $2 (\ln (x - 2)) + 2 (- \ln (x^{2} - 4) \cdot 3)$ .

$\frac{2 (\ln (x - 2) - \ln (x^{2} - 4) \cdot 3)}{3}$

Paso 12.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (\ln (x - 2) - 3 \ln (x^{2} - 4))}{3}$