Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + 4}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + 4 \cdot \frac{2 x}{2 x}}$

Paso 1.2

Combina $4$ y $\frac{2 x}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1}{2 x} + \frac{4 (2 x)}{2 x}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 4 (2 x)}{2 x}}$

Paso 2

Multiplica $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} {(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}}$

Paso 3

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 3.1

Reescribe ${(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}}$ como $e^{\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})}$

Paso 3.2

Expande $\ln ({(1 - 3 x)}^{\frac{1 + 8 x}{2 x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1 + 8 x}{2 x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1 + 8 x}{2 x} \ln (1 - 3 x)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 8 x}{2 x} \ln (1 - 3 x)}$

Paso 4.2

Combina $\frac{1 + 8 x}{2 x}$ y $\ln (1 - 3 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{2 x}}$

Paso 4.3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{x}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} (1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 8 x \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.4

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (lim_{x \to 0} 1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 lim_{x \to 0} x) \cdot \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1.2.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 \cdot 0) \cdot \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 8 \cdot 0) \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.10.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + 0) \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.10.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.10.3

Multiplica $\ln (1 - 3 \cdot 0)$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1 - 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.10.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.10.5

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.2.10.6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(1 + 8 x) \ln (1 - 3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + 8 x$ y $g (x) = \ln (1 - 3 x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{d}{d x} [\ln (1 - 3 x)] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - 3 x$ .

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Paso 5.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 3 x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 3 x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [1 - 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{1}{1 - 3 x} \cdot - 3 \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.8

Combina $- 3$ y $\frac{1}{1 - 3 x}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \frac{- 3}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \cdot - 1 \frac{3}{1 - 3 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{(1 + 8 x) \cdot - 1 \frac{3}{1 - 3 x} \cdot 1 + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.11

Multiplica $1 + 8 x$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} \cdot (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.15

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.17

Multiplica $8$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + \ln (1 - 3 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.18

Mueve $8$ a la izquierda de $\ln (1 - 3 x)$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{3}{1 - 3 x} (1 + 8 x) + 8 \cdot \ln (1 - 3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.19

Reordena los términos.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \frac{3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 5.3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \frac{3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{1}}$

Paso 5.4

Multiplica $- (1 + 8 x)$ por $\frac{3}{1 - 3 x}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3}{1 - 3 x} + 8 \ln (1 - 3 x)}{1}}$

Paso 5.5

Combina los términos.

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Paso 5.5.1

Para escribir $8 \ln (1 - 3 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - 3 x}{1 - 3 x}$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3}{1 - 3 x} + \frac{8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}{1}}$

Paso 5.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}{1}}$

Paso 5.6

Divide $\frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{1 - 3 x}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - (1 + 8 x) \cdot 3 + 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} (1 + 8 x) \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} 1 + 8 x + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.6

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.7

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x) (1 - 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \ln (1 - 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.9

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.12

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - 3 x}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.13

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.14

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.15

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 3 x}}$

Paso 6.16

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 3 x}}$

Paso 6.17

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 3 x}}$

Paso 6.18

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 lim_{x \to 0} x) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 lim_{x \to 0} x)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 7.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 8 \cdot 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 (1 + 0) + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 \cdot 1 + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1 - 3 \cdot 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1 + 0) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \ln (1) \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.6

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 8 \cdot 0 \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.7

Multiplica $8$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot (1 - 3 \cdot 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.8

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot (1 + 0)}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.9

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0 \cdot 1}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.10

Multiplica $0$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3 + 0}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.11

Suma $- 3$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1 + 0}}$

Paso 8.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1}}$

Paso 8.3

Divide $- 3$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$e^{\frac{- 3}{2}}$

Paso 8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 8.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Forma decimal:

$0.22313016 \dots$