Precálculo Ejemplos

$\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Paso 1

Reescribe $\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ como $\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ .

$\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Paso 2

Reescribe $\ln (r^{7} s^{8})$ como $\ln (r^{7}) + \ln (s^{8})$ .

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{r^{4} s^{9}}$ como ${(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}}$ .

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Paso 4

Expande $\ln (r^{7})$ ; para ello, mueve $7$ fuera del logaritmo.

$7 \ln (r) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Paso 5

Expande $\ln (s^{8})$ ; para ello, mueve $8$ fuera del logaritmo.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Paso 6

Expande $\ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{7}$ fuera del logaritmo.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} \ln (r^{4} s^{9})$

Paso 7

Reescribe $\ln (r^{4} s^{9})$ como $\ln (r^{4}) + \ln (s^{9})$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (\ln (r^{4}) + \ln (s^{9}))$

Paso 8

Expande $\ln (r^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + \ln (s^{9}))$

Paso 9

Expande $\ln (s^{9})$ ; para ello, mueve $9$ fuera del logaritmo.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + 9 \ln (s))$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r)) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{7} (4 \ln (r))$ .

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Paso 10.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4}{7} \ln (r) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Paso 10.2.2

Combina $\frac{4}{7}$ y $\ln (r)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{7} (9 \ln (s))$ .

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Paso 10.3.1

Combina $9$ y $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9}{7} \ln (s)$

Paso 10.3.2

Combina $\frac{9}{7}$ y $\ln (s)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 11

Para escribir $7 \ln (r)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + 7 \ln (r) \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 12

Combina $7 \ln (r)$ y $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 14

Simplifica cada término.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Factoriza $\ln (r)$ de $7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)$ .

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Paso 14.1.1.1

Factoriza $\ln (r)$ de $7 \ln (r) \cdot 7$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 14.1.1.2

Factoriza $\ln (r)$ de $4 \ln (r)$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 14.1.1.3

Factoriza $\ln (r)$ de $\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 14.1.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (49 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 14.1.3

Suma $49$ y $4$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) \cdot 53}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 14.2

Mueve $53$ a la izquierda de $\ln (r)$ .

$8 \ln (s) + \frac{53 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Paso 15

Para escribir $8 \ln (s)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) \cdot \frac{7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Paso 16

Combina $8 \ln (s)$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Paso 17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Paso 18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Paso 19

Simplifica el numerador.

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Paso 19.1

Multiplica $7$ por $8$ .

$\frac{56 \ln (s) + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Paso 19.2

Suma $56 \ln (s)$ y $9 \ln (s)$ .

$\frac{65 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$