Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[5]{4}})$

Paso 1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[5]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt[5]{4}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1} {\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1 + 4}})$

Paso 2.4

Suma $1$ y $4$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{5}})$

Paso 2.5

Reescribe ${\sqrt[5]{4}}^{5}$ como $4$ .

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Paso 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{4}$ como $4^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{(4^{\frac{1}{5}})}^{5}})$

Paso 2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}})$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}})$

Paso 2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{1}})$

Paso 2.5.5

Evalúa el exponente.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4})$

Paso 3

Reescribe $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4}$ como ${\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1}$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1})$

Paso 4

Reescribe $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1})$ como $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$

Paso 5

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - \log_{4} (4)$

Paso 6

El logaritmo en base $4$ de $4$ es $1$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - 1 \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - 1$

Paso 8

Expande $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$4 \log_{4} (\sqrt[5]{4}) - 1$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Reescribe $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 9.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$4 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Paso 9.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$4 \frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)} - 1$

Paso 9.2

Multiplica $4 \frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)}$ .

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Paso 9.2.1

Combina $4$ y $\frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)}$ .

$\frac{4 \log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)} - 1$

Paso 9.2.2

Simplifica $4 \log (\sqrt[5]{4})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log ({\sqrt[5]{4}}^{4})}{\log (4)} - 1$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Reescribe ${\sqrt[5]{4}}^{4}$ como $\sqrt[5]{4^{4}}$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{4^{4}})}{\log (4)} - 1$

Paso 9.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{256})}{\log (4)} - 1$

Paso 9.3.3

Reescribe $256$ como $2^{5} \cdot 8$ .

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Paso 9.3.3.1

Factoriza $32$ de $256$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{32 (8)})}{\log (4)} - 1$

Paso 9.3.3.2

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{2^{5} \cdot 8})}{\log (4)} - 1$

Paso 9.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\log (2 \sqrt[5]{8})}{\log (4)} - 1$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (2 \sqrt[5]{8})}{\log (4)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.2$