Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (\sqrt{22} - 4) + \log_{3} (\sqrt{22} + 4)$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((\sqrt{22} - 4) (\sqrt{22} + 4))$

Paso 2

Expande $(\sqrt{22} - 4) (\sqrt{22} + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (\sqrt{22} (\sqrt{22} + 4) - 4 (\sqrt{22} + 4))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 (\sqrt{22} + 4))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{3} (\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\log_{3} (\sqrt{22 \cdot 22} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Paso 3.1.2

Multiplica $22$ por $22$ .

$\log_{3} (\sqrt{484} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Paso 3.1.3

Reescribe $484$ como $22^{2}$ .

$\log_{3} (\sqrt{22^{2}} + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Paso 3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\log_{3} (22 + \sqrt{22} \cdot 4 - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Paso 3.1.5

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{22}$ .

$\log_{3} (22 + 4 \cdot \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - 4 \cdot 4)$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\log_{3} (22 + 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - 16)$

Paso 3.2

Resta $16$ de $22$ .

$\log_{3} (6 + 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22})$

Paso 3.3

Resta $4 \sqrt{22}$ de $4 \sqrt{22}$ .

$\log_{3} (6 + 0)$

Paso 3.4

Suma $6$ y $0$ .

$\log_{3} (6)$

Paso 4

Reescribe $\log_{3} (6)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 4.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 4.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (6)}{\log (3)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (6)}{\log (3)}$

Forma decimal:

$1.63092975 \dots$