Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x^{2} - 1) - 5 \log_{4} (x + 1)$

Paso 1

Simplifica $- 5 \log_{4} (x + 1)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\log_{4} (x^{2} - 1) - \log_{4} ({(x + 1)}^{5})$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{5}})$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 1^{2}}{{(x + 1)}^{5}})$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x + 1)}^{5}})$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{5}$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) {(x + 1)}^{4}})$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\log_{4} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) {(x + 1)}^{4}})$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\log_{4} (\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{4}})$

Paso 5

Reescribe $\log_{4} (\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{4}})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 5.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 5.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{4}})}{\log (4)}$