Precálculo Ejemplos

$\log_{4} (x^{2} + 14 x + 49) - \log_{4} (x + 7)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 14 x + 49}{x + 7})$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 14 x + 7^{2}}{x + 7})$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}{x + 7})$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\log_{4} (\frac{{(x + 7)}^{2}}{x + 7})$

Paso 3

Cancela el factor común de ${(x + 7)}^{2}$ y $x + 7$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x + 7$ de ${(x + 7)}^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 7) (x + 7)}{x + 7})$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 7) (x + 7)}{(x + 7) \cdot 1})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{4} (\frac{(x + 7) (x + 7)}{(x + 7) \cdot 1})$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{4} (\frac{x + 7}{1})$

Paso 3.2.4

Divide $x + 7$ por $1$ .

$\log_{4} (x + 7)$

Paso 4

Reescribe $\log_{4} (x + 7)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 4.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 4.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (x + 7)}{\log (4)}$