Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}})$

Paso 1

Multiplica $\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt[3]{3}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}})$

Paso 2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}})$

Paso 2.5

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ como $3$ .

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Paso 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3}$ como $3^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Paso 2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}})$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}})$

Paso 2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}})$

Paso 2.5.5

Evalúa el exponente.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3})$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ como $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} \sqrt[3]{3^{2}}}{3})$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} \sqrt[3]{9}}{3})$

Paso 3.3

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $15$ .

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Paso 3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9}$ como $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (9^{\frac{1}{3}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $9^{\frac{1}{3}}$ como $9^{\frac{5}{15}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (9^{\frac{5}{15}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $9^{\frac{5}{15}}$ como $\sqrt[15]{9^{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Paso 3.3.1.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{7}$ como $7^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \cdot 7^{\frac{1}{5}})}{3})$

Paso 3.3.1.5

Reescribe $7^{\frac{1}{5}}$ como $7^{\frac{3}{15}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \cdot 7^{\frac{3}{15}})}{3})$

Paso 3.3.1.6

Reescribe $7^{\frac{3}{15}}$ como $\sqrt[15]{7^{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \sqrt[15]{7^{3}})}{3})$

Paso 3.3.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{9^{5} \cdot 7^{3}}}{3})$

Paso 3.3.3

Eleva $9$ a la potencia de $5$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{59049 \cdot 7^{3}}}{3})$

Paso 3.3.4

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{59049 \cdot 343}}{3})$

Paso 3.3.5

Multiplica $59049$ por $343$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})$

Paso 4

Reescribe $\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 4.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 4.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})}{\log (5)}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})}{\log (5)}$

Forma decimal:

$0.87563010 \dots$