Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (4 \sqrt{\frac{1}{25}})$

Paso 1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$\log_{5} (4 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}})$

Paso 2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\log_{5} (4 \frac{1}{\sqrt{25}})$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\log_{5} (4 \frac{1}{\sqrt{5^{2}}})$

Paso 3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\log_{5} (4 (\frac{1}{5}))$

Paso 4

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$\log_{5} (\frac{4}{5})$

Paso 5

Reescribe $\frac{4}{5}$ como $4 \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (4 \cdot 5^{- 1})$

Paso 6

Reescribe $\log_{5} (4 \cdot 5^{- 1})$ como $\log_{5} (4) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (4) + \log_{5} (5^{- 1})$

Paso 7

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{5} (4) - \log_{5} (5)$

Paso 8

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$\log_{5} (4) - 1 \cdot 1$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{5} (4) - 1$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Reescribe $\log_{5} (4)$ como $\log_{5} (2^{2})$ .

$\log_{5} (2^{2}) - 1$

Paso 10.2

Expande $\log_{5} (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \log_{5} (2) - 1$

Paso 11

Simplifica cada término.

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Paso 11.1

Reescribe $\log_{5} (2)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 11.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$2 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Paso 11.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$2 \frac{\log (2)}{\log (5)} - 1$

Paso 11.2

Multiplica $2 \frac{\log (2)}{\log (5)}$ .

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Paso 11.2.1

Combina $2$ y $\frac{\log (2)}{\log (5)}$ .

$\frac{2 \log (2)}{\log (5)} - 1$

Paso 11.2.2

Simplifica $2 \log (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log (2^{2})}{\log (5)} - 1$

Paso 11.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\log (4)}{\log (5)} - 1$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (4)}{\log (5)} - 1$

Forma decimal:

$- 0.13864688 \dots$