Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (4 - \log_{5} (a + \log_{5} (b)))$

Paso 1

Reescribe $\log_{5} (4 - \log_{5} (a + \log_{5} (b)))$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (4 - \log_{5} (a + \log_{5} (b)))}{\log (5)}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\log_{5} (a + \log_{5} (b))$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 2.1.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log (4 - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Paso 2.1.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (4 - \frac{\log (a + \log_{5} (b))}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\log_{5} (b)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 2.1.2.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log (4 - \frac{\log (a + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.1.2.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (4 - \frac{\log (a + \frac{\log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.1.2.2

Para escribir $a$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (4 - \frac{\log (\frac{a \log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (4 - \frac{\log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{4 \log (5)}{\log (5)} - \frac{\log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (\frac{4 \log (5) - \log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Simplifica $4 \log (5)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log (\frac{\log (5^{4}) - \log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.4.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$\frac{\log (\frac{\log (625) - \log (\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.4.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{625}{\frac{a \log (5) + \log (b)}{\log (5)}})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\log (\frac{\log (625 \frac{\log (5)}{a \log (5) + \log (b)})}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 2.4.5

Combina $625$ y $\frac{\log (5)}{a \log (5) + \log (b)}$ .

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{625 \log (5)}{a \log (5) + \log (b)})}{\log (5)})}{\log (5)}$