Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x - 3) + \log_{5} (\log_{5} (10))$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 3) \log_{5} (10))$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - 3 \log_{5} (10))$

Paso 3

Simplifica $- 3 \log_{5} (10)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (10^{3}))$

Paso 4

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$

Paso 5

Reescribe $\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 5.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 5.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Reescribe $\log_{5} (10)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 6.1.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log (x \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Paso 6.1.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (x \frac{\log (10)}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Paso 6.1.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$\frac{\log (x \frac{1}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Paso 6.1.3

Combina $x$ y $\frac{1}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Paso 6.1.4

Reescribe $\log_{5} (1000)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 6.1.4.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Paso 6.1.4.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000)}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 6.1.5

El logaritmo en base $10$ de $1000$ es $3$ .

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Paso 6.1.5.1

Reescribe como una ecuación.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000) = x}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 6.1.5.2

Reescribe $\log (1000) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 1000}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 6.1.5.3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 10^{3}}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 6.1.5.4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{x = 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 6.1.5.5

La variable $x$ es igual a $3$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Paso 6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (\frac{x - 3}{\log (5)})}{\log (5)}$