Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (2 \sqrt{8} \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{4}}))$

Paso 1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{4 (2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Paso 1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Paso 2

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{2} (2 (2 \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Paso 3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Paso 4

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}})$

Paso 5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}})$

Paso 6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}))$

Paso 7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Paso 7.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}})$

Paso 7.4

Suma $1$ y $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}})$

Paso 7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Paso 7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Paso 7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Paso 7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.5.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Paso 7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}})$

Paso 7.5.5

Evalúa el exponente.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4})$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4})$

Paso 8.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4})$

Paso 8.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4})$

Paso 8.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4})$

Paso 8.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Paso 9

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\log_{2} (4 (\sqrt{2}) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2}))$

Paso 10

Reescribe la expresión con el índice menos común de $6$ .

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Paso 10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}))$

Paso 10.2

Reescribe $2^{\frac{1}{2}}$ como $2^{\frac{3}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2}))$

Paso 10.3

Reescribe $2^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{2^{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[3]{2}))$

Paso 10.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}))$

Paso 10.5

Reescribe $2^{\frac{1}{3}}$ como $2^{\frac{2}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}}))$

Paso 10.6

Reescribe $2^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{2^{2}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{2^{2}}))$

Paso 11

Combina con la regla del producto para radicales.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{2}})$

Paso 12

Multiplica $2^{3}$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3 + 2}})$

Paso 12.2

Suma $3$ y $2$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{5}})$

Paso 13

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$

Paso 14

Reescribe $\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 14.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 14.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Forma decimal:

$1.8\overline{3}$