Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (160 - \log_{2} (5))$

Paso 1

Reescribe $\log_{2} (160 - \log_{2} (5))$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (160 - \log_{2} (5))}{\log (2)}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $\log_{2} (5)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 2.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log (160 - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (2)}$

Paso 2.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (160 - \frac{\log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Paso 2.2

Para escribir $160$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{160 \log (2)}{\log (2)} - \frac{\log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (\frac{160 \log (2) - \log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Simplifica $160 \log (2)$ al mover $160$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log (\frac{\log (2^{160}) - \log (5)}{\log (2)})}{\log (2)}$

Paso 2.4.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{2^{160}}{5})}{\log (2)})}{\log (2)}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (\frac{\log (\frac{2^{160}}{5})}{\log (2)})}{\log (2)}$

Forma decimal:

$7.30083823 \dots$