Precálculo Ejemplos

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{32 y}})$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $32 y$ como $2^{3} \cdot (4 y)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $8$ de $32$ .

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{8 (4) y}})$

Paso 1.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 y}})$

Paso 1.1.3

Agrega paréntesis.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (4 y)}})$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Paso 2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $16 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Paso 2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{4 y}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 (\sqrt[3]{4 y})})$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}})$

Paso 3

Multiplica $\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{\sqrt[3]{4 y} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Paso 4.1.2

Eleva $\sqrt[3]{4 y}$ a la potencia de $1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{1} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Paso 4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{1 + 2}})$

Paso 4.1.4

Suma $1$ y $2$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{3}})$

Paso 4.1.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4 y}}^{3}$ como $4 y$ .

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Paso 4.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 y}$ como ${(4 y)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Paso 4.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Paso 4.1.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Paso 4.1.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Paso 4.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{1}})$

Paso 4.1.5.5

Simplifica.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{4 y})$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $4$ de $8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 y})$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 (y)})$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 y})$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{y})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4 y}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(4 y)}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{{(4 y)}^{2}}}{y})$

Paso 5.2

Aplica la regla del producto a $4 y$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{4^{2} y^{2}}}{y})$

Paso 5.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{16 y^{2}}}{y})$

Paso 5.4

Reescribe $16 y^{2}$ como $2^{3} \cdot (2 y^{2})$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{8 (2) y^{2}}}{y})$

Paso 5.4.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 y^{2}}}{y})$

Paso 5.4.3

Agrega paréntesis.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{2})}}{y})$

Paso 5.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\log_{2} (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$

Paso 6

Reescribe $\log_{2} (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 6.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 6.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})}{\log (2)}$