Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{\log_{5} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{1}{\log_{5} (35)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)}$ .

$\frac{1}{\log_{5} (35)} \cdot \frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{\log_{7} (35)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$ .

$\frac{1}{\log_{5} (35)} \cdot \frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)} \cdot \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\log_{5} (35) \log_{7} (35)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\log_{5} (35)}$ por $\frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)}$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)} \cdot \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{\log_{7} (35)}$ por $\frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{\log_{5} (35)}{\log_{7} (35) \log_{5} (35)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $\log_{7} (35) \log_{5} (35)$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log_{7} (35) + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $\log_{7} (35)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 5.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.2

Reescribe $\log_{5} (35)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 5.2.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.2.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \frac{\log (35)}{\log (5)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.3

Para escribir $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.4

Para escribir $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (7)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $\log (7) \log (5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.5.1

Multiplica $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ por $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (7) \log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ por $\frac{\log (7)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (7) \log (5)} + \frac{\log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.5.3

Reordena los factores de $\log (7) \log (5)$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (5) \log (7)} + \frac{\log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Reescribe $\log_{5} (35)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 6.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{7} (35)}$

Paso 6.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \log_{7} (35)}$

Paso 6.2

Reescribe $\log_{7} (35)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 6.2.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (35)}{\log (7)}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ por $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35) \log (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Eleva $\log (35)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{1} (35) \log (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Paso 8.2

Eleva $\log (35)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{1} (35) \log^{1} (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Paso 8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{{\log (35)}^{1 + 1}}{\log (5) \log (7)}}$

Paso 8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{2} (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Paso 9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)} \cdot \frac{\log (5) \log (7)}{\log^{2} (35)}$

Paso 10

Cancela el factor común de $\log (5) \log (7)$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)} \cdot \frac{\log (5) \log (7)}{\log^{2} (35)}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$(\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (35) \log (5) \frac{1}{\log^{2} (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 12

Cancela el factor común de $\log (35)$ .

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Paso 12.1

Factoriza $\log (35)$ de $\log (35) \log (5)$ .

$\log (35) (\log (5)) \frac{1}{\log^{2} (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 12.2

Factoriza $\log (35)$ de $\log^{2} (35)$ .

$\log (35) (\log (5)) \frac{1}{\log (35) \log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 12.3

Cancela el factor común.

$\log (35) \log (5) \frac{1}{\log (35) \log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 12.4

Reescribe la expresión.

$\log (5) \frac{1}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 13

Combina $\log (5)$ y $\frac{1}{\log (35)}$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 14

Cancela el factor común de $\log (35)$ .

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Paso 14.1

Factoriza $\log (35)$ de $\log (35) \log (7)$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) (\log (7)) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Paso 14.2

Factoriza $\log (35)$ de $\log^{2} (35)$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) (\log (7)) \frac{1}{\log (35) \log (35)}$

Paso 14.3

Cancela el factor común.

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log (35) \log (35)}$

Paso 14.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (7) \frac{1}{\log (35)}$

Paso 15

Combina $\log (7)$ y $\frac{1}{\log (35)}$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \frac{\log (7)}{\log (35)}$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (5) + \log (7)}{\log (35)}$

Paso 17

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (5 \cdot 7)}{\log (35)}$

Paso 18

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{\log (35)}{\log (35)}$

Paso 19

Cancela el factor común de $\log (35)$ .

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Paso 19.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log (35)}{\log (35)}$

Paso 19.2

Reescribe la expresión.

$1$