Precálculo Ejemplos

$(\ln (\frac{x}{e^{4}})) \ln (x e^{4})$

Paso 1

Reescribe $\frac{x}{e^{4}}$ como $x {(e^{4})}^{- 1}$ .

$\ln (x {(e^{4})}^{- 1}) \ln (x e^{4})$

Paso 2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x e^{4 \cdot - 1}) \ln (x e^{4})$

Paso 3

Reescribe $\ln (x e^{4 \cdot - 1})$ como $\ln (x) + \ln (e^{4 \cdot - 1})$ .

$(\ln (x) + \ln (e^{4 \cdot - 1})) \ln (x e^{4})$

Paso 4

Usa las reglas de logaritmos para mover $4 \cdot - 1$ fuera del exponente.

$(\ln (x) + 4 \cdot - 1 \ln (e)) \ln (x e^{4})$

Paso 5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(\ln (x) - 4 \ln (e)) \ln (x e^{4})$

Paso 6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(\ln (x) - 4 \cdot 1) \ln (x e^{4})$

Paso 7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$(\ln (x) - 4) \ln (x e^{4})$

Paso 8

Reescribe $\ln (x e^{4})$ como $\ln (x) + \ln (e^{4})$ .

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + \ln (e^{4}))$

Paso 9

Usa las reglas de logaritmos para mover $4$ fuera del exponente.

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4 \ln (e))$

Paso 10

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4 \cdot 1)$

Paso 11

Multiplica $4$ por $1$ .

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4)$

Paso 12

Expande $(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) (\ln (x) + 4) - 4 (\ln (x) + 4)$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) \ln (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 (\ln (x) + 4)$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) \ln (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Paso 13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Multiplica $\ln (x) \ln (x)$ .

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Paso 13.1.1.1

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Paso 13.1.1.2

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln^{1} (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Paso 13.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\ln (x)}^{1 + 1} + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Paso 13.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\ln^{2} (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Paso 13.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) + 4 \cdot \ln (x) - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\ln^{2} (x) + 4 \ln (x) - 4 \ln (x) - 16$

Paso 13.2

Resta $4 \ln (x)$ de $4 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) + 0 - 16$

Paso 13.3

Suma $\ln^{2} (x)$ y $0$ .

$\ln^{2} (x) - 16$