Precálculo Ejemplos

$(\log_{4} (12^{3})) (\log_{12} (4^{3}))$

Paso 1

Eleva $12$ a la potencia de $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (4^{3})$

Paso 2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (64)$

Paso 3

Reescribe $\log_{4} (1728)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 3.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{12} (64)$

Paso 3.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{12} (64)$

Paso 4

Reescribe $\log_{12} (64)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 4.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Paso 4.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \cdot \frac{\log (64)}{\log (12)}$

Paso 5

Multiplica $\frac{\log (1728)}{\log (4)}$ por $\frac{\log (64)}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (1728) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Paso 6

Reescribe $\log (1728)$ como $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ .

$\frac{\log (2^{6} \cdot 3^{3}) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Paso 7

Reescribe $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ como $\log (2^{6}) + \log (3^{3})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Paso 8

Reescribe $\log (64)$ como $\log (2^{6})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (2^{6})}{\log (4) \log (12)}$

Paso 9

Expande $\log (2^{6})$ ; para ello, mueve $6$ fuera del logaritmo.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (4) \log (12)}$

Paso 10

Reescribe $\log (4)$ como $\log (2^{2})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (2^{2}) \log (12)}$

Paso 11

Expande $\log (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (12)}$

Paso 12

Reescribe $\log (12)$ como $\log (2^{2} \cdot 3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (2^{2} \cdot 3)}$

Paso 13

Reescribe $\log (2^{2} \cdot 3)$ como $\log (2^{2}) + \log (3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Paso 14

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 14.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 14.1.1

Factoriza $2$ de $(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Paso 14.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Paso 14.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Paso 14.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $\log (2)$ .

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Paso 14.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \cdot (3)}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\frac{(\log (64) + \log (3^{3})) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Paso 15.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{(\log (64) + \log (27)) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Paso 15.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (64 \cdot 27) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Paso 15.4

Multiplica $64$ por $27$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Paso 16

Simplifica el denominador.

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Paso 16.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4) + \log (3)}$

Paso 16.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4 \cdot 3)}$

Paso 16.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (12)}$

Paso 17

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1

Reordena $\log (1728)$ y $3$ .

$\frac{3 \cdot \log (1728)}{\log (12)}$

Paso 17.2

Simplifica $3 \cdot \log (1728)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log (1728^{3})}{\log (12)}$

Paso 18

Eleva $1728$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Paso 19

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Forma decimal:

$9$